题目
判断下列函数 f(x) 在区间 [-1, 1] 上是否有定积分和不定积分
答案
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(1)
- 有定积分，因为 f(x) 在区间 [-1, 1] 上有界，且只有一个间断点
- 没有不定积分，因为 f(x) 在区间 [-1, 1] 含有跳跃间断点
(2)
- 没有定积分，因为 f(x) 在区间 [-1, 1] 上无界
- 有不定积分，F(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2 \sin(\frac{1}{x^2})&, x \neq 0 \\0 &, x=0\end{array}\right. 是 f(x) 的一个原函数
(3)
- 没有定积分，因为 f(x) 在区间 [-1, 1] 上无界
- 没有不定积分，因为 f(x) 在区间 [-1, 1] 含有无穷间断点
(4)
- 有定积分，因为 f(x) 在区间 [-1, 1] 上有界，且只有一个间断点
- 有不定积分，F(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \cos(\frac{1}{x})&, x \neq 0 \\0&, x=0 \end{array}\right. 是 f(x) 的一个原函数
注意
不定积分的符号 \int 借用了定积分的符号 \int_a^b，仅仅是长得相似
函数（在指定区间上）是否有不定积分（原函数），跟是否有定积分，是没有必然联系的
定义
定积分的定义
若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在 (a, b) 上任取 n-1 个分点 x_{i}(i=1,2,3, \cdots, n-1)，定义 x_0=a 和 x_n=b，且 a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b，记 \Delta x_k=x_k-x_{k-1}(k=1,2,3, \cdots, n)，并任取一点 \xi_k \in [x_{k-1}, x_k]，记 \lambda=\max \limits_{1 \le k \le n}\{\Delta x_k\}，若当 \lambda \to 0 时，极限 \lim \limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k 存在，且与分点 x_i 及点 \xi_k 的取法无关，则称
为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，称 f(x) 在区间 [a, b] 上可积
注：定积分的存在性，也称一元函数的(常义)可积性。这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”，与“区间无穷，函数无界”的“反常”积分有所区别
不定积分的定义
设函数 f(x) 定义在某区间 I 上，若存在可导函数 F(x), 对于 I 上任意一点都有 F'(x)=f(x) 成立，
则称
为 f(x) 在区间 I 上的不定积分，称 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的一个原函数
注：谈到函数 f(x) 的原函数与不定积分，必须指明 f(x) 所定义的区间
判别
定积分的存在性判别
定积分存在的充分条件：
- 若 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则 \int_a^b f(x) \mathrm{d}x 存在
- 若 f(x) 在区间 [a, b] 上单调，则 \int_a^b f(x) \mathrm{d}x 存在
- 若 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，且只有有限个间断点（跳跃间断点、或可去间断点、或有界振荡间断点），则 \int_a^b f(x) \mathrm{d}x 存在
定积分存在的必要条件：
- 若 \int_a^b f(x) \mathrm{d}x 存在，则 f(x) 在区间 [a, b] 上有界（积分区间有限，被积函数有界）
不定积分（原函数）的存在性判别
- 若 f(x) 连续，则必有原函数 F(x)
- 若 f(x) （不连续）含有跳跃间断点、或可去间断点、或无穷间断点，则必没有原函数 F(x)
- 若 f(x) 含有振荡间断点（不论无穷振荡或有界振荡），不能确定其是否有原函数 F(x)